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| 소개글 |
고1수학_5.함수_심화반_요점과_문제 |
| 요약 |
<상위권을 위한 교재>
<Ⅱ 함 수><수능 대박 프로젝트>
1 집합 에서 로의 함수 에 대하여
다음과 같이 정의한다.
①는 단사(單射)함수(일대일함수)
⇔의 서로 다른 원소에 의 서로 다른 원소가 대응하는 함수
⇔이면
⇔이면
②는 전사(全射)함수
⇔의 원소에 의 원소가 빠짐없이 대응하는 함수
⇔ 치역 와 공역 가 같은 함수
③는 전단사함수(일대일대응)
⇔ 전사이면서 단사인 함수
(보기) 정수 전체의 집합 에서 로의 일대일대응 가 임의의 에 대하여 을 만족시킨다. 이러한 함수 는 모두 몇 개인가?
풀이 : 가 양의 정수일 때
개
개
……(*)
또, 이므로
……(**)
또, 이므로
……(***)
(*), (**), (***)에 의해, 함수 는 모든 정수 에 대하여
이다(즉, 원점을 지나는 직선). 그런데, 는 임의의 정수이므로 은 임의의 정수의 약수이다.
따라서 이다. 따라서 함수 는
또는 로 두 개다.
④는 상수함수
⇔의 모든 원소가 의 한 원소에 대응하는 함수
⇔ 모든 , (는 상수)
⑤는 항등함수
⇔의 각 원소에 자신이 대응하는 일대일대응
⇔ 모든 ,
2 함수 와 가 있을 때, 의 원소 는
의 원소 에 대응하고, 의 원소 는 의
원소 에 대응한다. 이 때, 의 원소 에 의
원소 가 대응하는 새로운 함수를 생각할 수 있는데,
이 함수를 와 의 합성함수라 하고 ,
로 나타낸다.
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합성함수 가 정의되려면 의 치역이 의 정의역의 부분집합이 되어야 한다. 즉, 이다. 다음은 합성함수의 성질이다
①
②
③ ⇔ 는 항등함수
3 에서 로의 함수 , 가 일대일대응일 때, 그 역대응 , 도 함수가 된다. 이 때의 를 의 역함수라 하고 로 나타낸다. 함수 의 역함수는 이지만 흔히 정의역의 원소는 , 치역의 원소는 로 표시하므로 로 나타낸다.
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